1.3.12 卡方分布
卡方（χN2）分布（N自由度）是N个具有标准正态分布（μ=0，σ=1）的随机变量的平方和的概率分布。图15示出了不同N值下的卡方分布PDF的例子。当N→∞时卡方分布收敛到正态分布。对于卡方分布，均值μ=N，方差σ2=2N。
卡方分布的PDF的公式是
其中，Γ是伽玛函数。
图14.N个平方值之和的卡方分布
因而用于计算均方的平方值都是卡方分布。如图15所示，使用了图2所示的轿厢的振动信号。如图，分布严重偏向小值，如χ12的简化公式所示。
图15.图2的汽车振动数据的平方的PDF与χ12比较
由于方差σ2可从均方值确定（式3），σ2的置信区间可以用卡方分布确定。对于标准差σX的随机变量x，N个平方值的和具有σX2χN2分布，所以方差具有σX2χN2/N分布。由于χN2分布不对称，方差估计的置信区间不对称。如图16所示，给出了不同置信水平下N/χN2与N的关系。将方差的置信区间表示为区间：
图16.使用小样本量的卡方分布的置信区间
对于N>100的情况，可以使用正态分布。方差估计的标准差为，可以使用图13的（对称）置信区间。
1.3.13 回归分析与最小二乘法
在非数学术语中，回归分析涉及将分散数据拟合为平滑曲线的技术。大约在1800年左右，为计算行星和彗星轨道确定执行此操作的“最佳”方法是发展正态分布[1]、中心极限定理[2]和最小二乘法[5]的主要动力。如今，回归分析仍用于重要数据的分析（例如，图18）。
图18
如图18所示，最简单形式的线性回归将一系列数据点（xn，yn），n=1，…，N拟合为一条直线。直线的方程式是y=ax+b，其中a和b待定。误差或残差是每个xn处直线和数据点之间的差：en=yn–a xn–b。最小二乘法用于确定a和b的“最佳”值。这是通过对残差en的平方求和并找到使该和最小的a和b的值来完成的。（使用微积分：令“和”对a和b的导数趋向于零，并从这两个方程求出a和b。）所得公式为：
其中
为均值。
可以通过假设误差为正态分布来获得此曲线拟合的置信区间。残差的方差为
其中分母为N–2，因为a和b的两个方程使自由度减少了2。为此，必须添加确定的yn 数据的方差，σYN2。（通常假定测量误差为2σÝ，基于95％的置信水平）。直线的数值y的标准差，是
回归分析的“拟合优度”的常用度量是R平方（R-square)系数：
R2的平方根通常被称为相关系数，
。在图18中，给出全球表面温度的例子σë=0.133ºC。每个温度测量中的误差范围被给定为±0.1ºC，所以假定σyn=0.050ºC。σÿ=0.14ºC和95％置信区间是±0.28ºC。R-square的计算值是R2=0.83。
在许多情况下，使用线性尺度时，数据无法很好地拟合为直线。与其尝试使用非线性曲线拟合，不如使用“对数”值进行线性回归通常很方便。例如log(y)-x、y-log(x)或log(y)-log(x）。用下例作为说明。在一个结构中的阻尼使冲击后振动的理论衰减速率为其中f是以Hz为单位的频率，t是时间（以秒为单位），ζ是临界阻尼比）。因此，为了确定阻尼值，在结构受到冲击后，测量均方根加速度水平与时间的关系，如图19a中所示，f=200Hz。当使用log(A)=log(Ao)-[2πfζlog(e)]t时，该理论衰减曲线绘制出来应该是直线，如图19b中所示。在这个例子中线性回归给出，斜率为-8.28，所以ζ=8.28/[2π f log(e)]=0.015。
图19a.
图19b.瞬态振动衰减的回归分析
1.3.14 瑞利分布
瑞利勋爵（Lord Rayleigh），1842-1919（约翰·W·斯特鲁特（John W.Strutt））
随机振动中，瑞利分布发生在若干种情况下。随机激励下的共振响应的峰值表现为瑞利分布。复杂系统中空间振动模式的振幅具有瑞利分布。第二种情况导致约翰·斯特鲁特（John W.Strutt）得出了以他名字命名的概率分布公式。他认为振动振幅是一个向量r，其a、b分量为遵从零均值、方差为σÔ2的相互独立的正态分布，如图所示：
r的归一化大小由下式给出：
PDF由式23给出，如图20所示。
瑞利分布的PDF是不对称的，并且其均值不等于1而是≅1.25σo，σr≅0.655σo。
作为对此的说明，图21示出了悬臂梁振子的尖端对基部处的随机激励的振动响应。图22显示了峰值|Ai|（与梁中的峰值应力成比例）的直方图与瑞利分布的对比。该结果用于疲劳分析（请参见第3.3节）。
图21.悬臂梁基部激励的随机振动响应。
图22.峰值振动响应|Ai|的PDF
瑞利分布与χ22分布密切相关，因为瑞利变量都是χ22变量的平方根：
下图的面积P给出了估算峰值水平“不超过”的置信水平，并在图23中绘制为偏离均值的标准差数的函数。
图23.具有瑞利分布的“不超过水平”的置信区间
1.3.15 对数正态分布
许多物理现象表现出对数正态分布。当系统的响应值由多个独立参数的乘积得出时，响应值的分布将趋于对数正态。这是因为乘积的对数是因子项的对数的和，而中心极限定理意味着值的对数将具有正态分布。例如，如果x=A·B/C，则log(x)=log(A)+log(B)–log(C)，A、B、C为正值。图24显示了以线性和log x标尺绘制的对数正态分布。
图24.对数正态分布
在随机振动中，这适用于整体随机条件下的振动大小分布。这在图25中用在名义相同的条件下运行的40部名义相同的柴油机的联轴器壳体的垂直和横向方向上测得的RMS加速度水平（ARMS）直方图的图表进行了说明。以分贝标度[分贝电平=20Log（ARMS/1μG），dB]绘制的测量数据与Log水平的正态分布进行比较，平均值为114.2dB，σ=3.5dB。
图25.发动机振动水平的分布
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